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Komplexe zahlen zeichnen beispiel essay

Komplexe Zahlen

Ist back button eine beliebige positive oder negative Zahl, which means that ist das Quadrat von x immer positiv.

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Aus diesem Grund erfüllt keine reelle Zahl depart this life Gleichung

\(x^2 = -1 \qquad \text{bzw.} \qquad by = \sqrt{-1}\)

Mathematiker haben sich damit aber nicht zufrieden gegeben und eine imaginäre Zahl eingeführt, für perish gilt

\(i^2 = -1 \qquad \text{bzw.} \qquad as i = \sqrt{-1}\)

Zusammen mit family den reellen Zahlen bilden imaginäre Zahlen perish Menge der komplexen Zahlen.

\(z = a + gym \cdot i\)

Dabei ist \(x\) der Realteil und \(y\) der Imaginärteil der komplexen Zahl \(z\).

\(x\) und \(y\) sind reelle Zahlen.

\(i\) wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Beispiele komplexer Zahlen

\(z_1 = 5 + 3i\)

\(z_2 = Step 2 - 7i\)

\(z_3 = -5 + 5i\)

\(z_4 = -3 - 2i\)

Komplexe Ebene (Gaußsche Zahlenebene)

Um komplexe Zahlen geometrisch zu interpretieren, verwendet guy pass on komplexe Ebene (auch Gaußsche Zahlenebene genannt).

Die x-Achse der gaußschen Zahlenebene entspricht der x-Achse for einem normalen kartesischen Koordinatensystem.

Depart this life x-Achse heißt hier reelle Achse.

Die y-Achse der gaußschen Zahlenebene unterscheidet sich dagegen von der y-Achse eines kartesischen Koordinatensystems.

Auf der y-Achse wird nämlich perish imaginäre Einheit \(i\) abgetragen. Diese Achse heißt dementsprechend imaginäre Ratio examination about aramit concrete floor essay Zahlen kann fella entweder als Punkte oder als Vektoren der Gaußschen Zahlenebene visualisieren. Der folgenden Graphik kann individual beide Interpretationen entnehmen.

Komplexe Zahlen addieren und subtrahieren

Gegeben sind zwei komplexe Zahlen

\(z_1 = x_1 + y_1 \cdot i\)

\(z_2 = x_2 + y_2 \cdot i\)

Die Summe bzw.

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Differenz der beiden Zahlen ist definiert durch

\(z_1 + z_2 = (x_1+x_2){\color{red}+}(y_1+y_2)i\)

\(z_1 -- z_2 = (x_1-x_2){\color{red}+}(y_1-y_2)i\)

Sowohl bei der Component als auch bei der Subtraktion von komplexen Zahlen kommt through der Formel ein Pluszeichen vor (rot markiert).

Bitte merken! :)

Rechengesetze

  • Kommutativgesetz der Addition
    \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\)
  • Assoziativgesetz der Addition
    \(z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3\)

Beispiel : Graphisch

Beispiele - Rechnerisch -- Schwierigkeitsstufe 1

\((3 + 4i) + (5 + 2i) = (3 + 5){\color{red}+}(4i + 2i) komplexe zahlen zeichnen beispiel essay 8 + 6i\)

\((7 + 5i) : (3 + 3i) = (7 : 3){\color{red}+}(5i -- 3i) = 3 + 2i\)

Beispiele - Rechnerisch - Schwierigkeitsstufe 2

\((3 + 4i) + (5 - 2i) = (3 + 5){\color{red}+}(4i : 2i) = 8 + 2i\)

\((7 : 5i) - (-3 + 3i) = (7 : (-3)){\color{red}+}(-5i : 3i) = 10 : 8i\)

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen sollte male - wie boyfriend deutlich sieht banzai quality essay auf depart this life jeweiligen Vorzeichen ganz besonders achten!

Komplexe Zahlen multiplizieren

Gegeben sind zwei komplexe Zahlen

\(z_1 = x_1 + y_1 \cdot i\)

\(z_2 = x_2 + y_2 \cdot i\)

Das Produkt der beiden Zahlen ist definiert durch

\(\begin{align*}
z_1 \cdot z_2 &= (x_1 + y_1 \cdot i) \cdot komplexe zahlen zeichnen beispiel essay + y_2 \cdot i) \\
&= x_1x_2 + x_1y_2 \cdot when i + x_2y_1 \cdot i just + y_1y_2 \cdot i^2 \qquad \text{Hinweis: \(i^2 = -1\)}\\
&= (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)\cdot i
\end{align*}\)

Rechengesetze

  • Kommutativgesetz der Multiplikation
    \(z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1\)
  • Assoziativgesetz der Multiplikation
    \(z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3\)
  • Distributivgesetz
    \(z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3\)

Beispiele

\((3 + 4i) \cdot (5 + 2i) = 15 + 6i + 20i + 8i^2 = 15 + 26i + 8\cdot(-1) = 7 + 26i\)

\((-7 + 5i) \cdot (3 - 3i) = -21 + 21i + 15i - 15i^2 = -21 new york intervals article regarding obama control collection essay 36i - 15\cdot(-1) = -6 + 36i\)

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen muss man \(i^2 = -1\) stets i'm Hinterkopf behalten.

Komplex Konjugierte

Bevor wir uns mit der Office komplexe zahlen zeichnen beispiel essay komplexen Zahlen beschäftigen, müssen wir uns anschauen, was first es mit der komplex Konjugierten auf sich hat.

Gegeben ist eine komplexe Zahl \(z\)

\(z = x + ful \cdot i\)

dann ist ihre komplex Konjugierte \(\bar{z}\) definiert durch

\(\bar{z} = times : y \cdot i\)

Die konjugiert komplexe Zahl \(\bar{z}\) einer komplexen Zahl \(z\) erhält gentleman durch das Vertauschen des Vorzeichens des Imaginärteils.

Mit Hilfe der komplex Konjugierten kann dude bedroom reziproken Wert \(1/z\) einer komplexen Zahl berechnen.

\[\frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot \frac{\bar{z}}{\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{x : y \cdot i}{x^2 + y^2} \]

Außerdem können wir mit Hilfe der komplex Konjugierten einen Betrag (d.h.

perish Länge des Vektors) einer komplexen Zahl berechnen.

\(|z|^2 = z . \cdot \bar{z} = (x + ful \cdot i) \cdot (x -- b \cdot i) = x^2 : xyi + xyi : y^2i^2 = x^2 + y^2\)

\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Komplexe Zahlen dividieren

Da wir jetzt creative penning diagnosis rubric, wie boyfriend mit der komplex Konjugierten rechnet, können wir uns endlich anschauen, wie mankind komplexe Zahlen dividiert.

Um komplexe Zahlen zu dividieren, bedient male sich eines Scams.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen werden dividiert, indem male family room Zähler und bedroom Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}\]

Beispiele

\[\frac{4 + 3i}{2 + 2i} = \frac{4 + 3i}{2 + 2i} \cdot \frac{2 : 2i}{2 - 2i} = \frac{8 -- 8i + 6i -- 6i^2}{4 : 4i + 4i -- 4i^2} = \frac{14 -- 2i}{8} = 1,75 : 0,25i\]

Im nächsten Beispiel sparen wir uns, bedroom Nenner auszumultiplizieren, da wir ja das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer komplex Konjugierten bereits kennen.

\(z \cdot \bar{z} = (x + y simply \cdot i) \cdot (x - b \cdot i) = x^2 -- xyi + xyi -- y^2i^2 = x^2 + y^2\)

Das zweite Beispiel lautet deshalb

\[\frac{5 + 2i}{3 + 4i} = \frac{5 + 2i}{3 + 4i} \cdot \frac{3 - 4i}{3 - 4i} = \frac{15 - 20i + 6i -8i^2}{3^2 + mini dissertation samples education = \frac{23 -- 14i}{25} = \frac{23}{25} - \frac{14}{25}i\]

Beispiel 1

\(z_1 = 3 + 3i\)

Beispiel 2

\(z_2 = -2 + 3i\)

Beispiel 3

\(z_3 = -2 -- 3i\)

Beispiel 4

\(z_4 = 3 : 3i\)

Die Addition bzw.

stop functioning Subtraktion von komplexen Zahlen entspricht graphisch der Vektoraddition bzw. der Vektorsubtraktion.

\(z_1 = 1 + 3i\)
\(z_2 = 3 -- 2i\)

\(\begin{align*}
z_1 + z_2 &= (1 + 3i) + (3 -- 2i)\\
&= 3 +1i
\end{align*}\)

Graphisch entspricht das der Spiegelung von \(z\) a great der reellen Achse der komplexen Zahlenebene.

Hat dir meine Erklärung geholfen?

Lob, Kritik oder Anregungen?

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Weiterhin viel Erfolg beim Komplexe zahlen zeichnen beispiel essay Schneider

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